Задача 58303

Тема:    [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Условие

Может ли конечный набор точек содержать для каждой своей точки ровно 100 точек, удаленных от нее на расстояние 1?

Решение

Да, может. Докажем это утверждение индукцией, заменив 100 на n. При n = 1 можно взять концы отрезка длиной 1. Предположим, что утверждение доказано для n и  A₁,..., A_k — нужный набор точек. Пусть A₁',..., A_k' — образы точек A₁,..., A_k при параллельном переносе на единичный вектор  a. Для доказательства шага индукции единичный вектор  a достаточно выбрать так, что a и  A_jA_i'1 при ij, т. е. | + a|1 при ij. Каждое из этих ограничений исключает из единичной окружности не более одной точки.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	26
Название	Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры
Тема	Системы точек и отрезков
параграф
Номер	3
Название	Примеры и контрпримеры
Тема	Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры
задача
Номер	26.020