Условие
Докажите, что если плоскость разбита на части
прямыми и окружностями, то получившуюся карту можно
раскрасить в два цвета так, что части, граничащие по дуге
или отрезку, будут разного цвета.
Решение
Доказательство проведем индукцией по общему числу
прямых и окружностей. Для одной прямой или окружности утверждение
очевидно. Предположим теперь, что можно раскрасить
требуемым образом любую карту, заданную
n прямыми и окружностями,
и покажем, как тогда раскрасить карту, заданную
n + 1
прямыми и окружностями. Выбросим одну из этих прямых (или
окружностей) и раскрасим карту, заданную оставшимися
n прямыми
и окружностями. Затем цвета всех частей, лежащих по одну сторону
от выброшенной прямой (или окружности), сохраним, а цвета всех
частей, лежащих по другую сторону, заменим на противоположные.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
книга |
|
Автор |
Прасолов В.В. |
|
Год издания |
2001 |
|
Название |
Задачи по планиметрии |
|
Издательство |
МЦНМО |
|
Издание |
4* |
|
глава |
|
Номер |
27 |
|
Название |
Индукция и комбинаторика |
|
Тема |
Неопределено |
|
параграф |
|
Номер |
1 |
|
Название |
Индукция |
|
Тема |
Индукция в геометрии |
|
задача |
|
Номер |
27.001 |
