Задача 58307

Темы:    [ Индукция в геометрии ] [ Раскраски ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Докажите, что если плоскость разбита на части прямыми и окружностями, то получившуюся карту можно раскрасить в два цвета так, что части, граничащие по дуге или отрезку, будут разного цвета.

Решение

Доказательство проведём индукцией по общему линий (прямых и окружностей). Для одной линии утверждение очевидно. Предположим теперь, что можно раскрасить требуемым образом любую карту, заданную n линиями, и покажем, как тогда раскрасить карту, заданную  n + 1  линией. Выбросим одну из этих линий и раскрасим карту, заданную оставшимися n линиями. Затем цвета всех частей, лежащих по одну сторону от выброшенной линии, сохраним, а цвета всех частей, лежащих по другую сторону, заменим на противоположные.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	27
Название	Индукция и комбинаторика
Тема	Неопределено
параграф
Номер	1
Название	Индукция
Тема	Индукция в геометрии
задача
Номер	27.001