Задача 58310

Темы:    [ Индукция в геометрии ] [ Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Условие

На прямой даны точки A₁, ..., A_n и B₁, ..., B_n–1. Докажите, что     = 1.

Решение

  Индукция по n. База  (n = 2).  Так как   + + = , то / + /  = 1.
  Шаг индукции. Фиксируем точки A₁, ..., A_n и B₁, ..., B_n–2, а точку B_n–1 будем считать переменной. Рассмотрим функцию   f(B_n–1) =  .   Эта функция линейна, причём по предположению индукции  f(B_n–1) = 1, если B_n–1 совпадает с одной из точек A₁, ..., A_n. Следовательно, эта функция тождественно равна 1.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	27
Название	Индукция и комбинаторика
Тема	Неопределено
параграф
Номер	1
Название	Индукция
Тема	Индукция в геометрии
задача
Номер	27.004