Условие
Докажите, что если n точек не лежат на одной прямой, то среди прямых, их соединяющих, не менее n различных.
Решение
Индукция по n. База. При n = 3 утверждение очевидно.
Шаг индукции. Если на каждой прямой, проходящей через две из n данных точек, лежит еще одна данная точка, то все данные точки лежат на одной прямой (см. задачу 58059). Поэтому существует прямая, на которой лежат ровно две данные точки A и B. Выбросим точку A. Возможны два случая.
1) Все оставшиеся точки лежат на одной прямой l. Тогда будет
ровно n различных прямых: n – 1 прямая, проходящая через A, и прямая l.
2) Оставшиеся точки не лежат на одной прямой. Тогда среди прямых, их соединяющих, по предположению индукции есть не менее n – 1 различных, причём все они отличны от прямой AB. Вместе с прямой AB они составляют не менее n прямых.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
книга |
|
Автор |
Прасолов В.В. |
|
Год издания |
2001 |
|
Название |
Задачи по планиметрии |
|
Издательство |
МЦНМО |
|
Издание |
4* |
|
глава |
|
Номер |
27 |
|
Название |
Индукция и комбинаторика |
|
Тема |
Неопределено |
|
параграф |
|
Номер |
1 |
|
Название |
Индукция |
|
Тема |
Индукция в геометрии |
|
задача |
|
Номер |
27.005 |
