Условие
Докажите, что число неравных треугольников с вершинами в вершинах правильного n-угольника равно ближайшему к n²/12 целому числу.
Решение
Пусть всего имеется N неравных треугольников с вершинами в вершинах правильного n-угольника, причём из них N1 правильных,
N2 неправильных равнобедренных и N3 разносторонних. Каждый правильный треугольник равен одному треугольнику с фиксированной вершиной A, неправильный равнобедренный – трём треугольникам с вершиной A, а разносторонний – шести. Так как всего имеется ½ (n – 1)(n – 2) треугольников с вершиной A, то ½ (n – 1)(n – 2) = N1 + 3N2 + 6N3.
Ясно, что число неравных правильных треугольников равно 0 или 1, а число неравных равнобедренных равно n–1/2 или n/2 – 1 , то есть N1 = 1 – c, N1 + N2 = ½ (n – 2 + d), где c и d равны 0 или 1. Поэтому
12N = 12(N1 + N2 + N3) = 2(N1 + 3N2 + 6N3) + 6(N1 + N2) + 4N1 = (n – 1)(n – 2) + 3(n – 2 + d) + 4(1 – c) = n² + 3d – 4c.
Так как |3d – 4c| < 6, то N совпадает с ближайшим к n²/12 целым числом.
Источники и прецеденты использования
