Задача 58321

Темы:    [ Свойства инверсии ] [ Касающиеся окружности ] [ Признаки и свойства касательной ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Условие

Докажите, что касающиеся окружности (окружность и прямая) переходят при инверсии в касающиеся окружности или в окружность и прямую, или в пару параллельных прямых.

Решение

Если точка касания не совпадает с центром инверсии, то после инверсии эти окружности (окружность и прямая) будут по-прежнему иметь одну общую точку, т. е. касание сохранится.
Если окружности с центрами A и B касаются в точке O, то при инверсии с центром O они перейдут в пару прямых, перпендикулярных AB. Наконец, если прямая l касается в точке O окружности с центром A, то при инверсии с центром O прямая l переходит в себя, а окружность — в прямую, перпендикулярную OA. В каждом из этих случаев получаем пару параллельных прямых.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	28
Название	Инверсия
Тема	Инверсия
параграф
Номер	1
Название	Свойства инверсии
Тема	Свойства инверсии
задача
Номер	28.004