Условие
Через точку A проведена прямая l, пересекающая
окружность S с центром O в точках M и N и не проходящая
через O. Пусть M' и N' — точки, симметричные M и N
относительно OA, а A' — точка пересечения прямых MN' и M'N.
Докажите, что A' совпадает с образом точки A при инверсии
относительно S (и, следовательно, не зависит от выбора
прямой l).
Решение
Пусть точка A лежит вне S, тогда A' лежит внутри S
и
MA'N = ( 
MN+ M'N')/2 = MN = MON,
т. е. четырехугольник MNOA' вписанный. Но при инверсии относительно S
прямая MN перейдет в окружность, проходящую через точки M, N, O
(задача 28.2). Поэтому точка A* (образ A при инверсии) лежит
на описанной окружности четырехугольника MNOA'. По тем же
причинам точки A' и A* принадлежат и окружности, проходящей
через M', N' и O. Но эти две окружности не могут иметь других
общих точек, кроме O и A'. Следовательно, A* = A'.
В случае, когда A лежит внутри S, применим уже доказанное
к прямой MN' и точке A' (она находится вне S). Получим, что
A = (A')*. Но тогда A' = A*.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
книга |
|
Автор |
Прасолов В.В. |
|
Год издания |
2001 |
|
Название |
Задачи по планиметрии |
|
Издательство |
МЦНМО |
|
Издание |
4* |
|
глава |
|
Номер |
28 |
|
Название |
Инверсия |
|
Тема |
Инверсия |
|
параграф |
|
Номер |
1 |
|
Название |
Свойства инверсии |
|
Тема |
Свойства инверсии |
|
задача |
|
Номер |
28.007 |
