Информация о задаче

Задача 58325

Темы:	[	Свойства инверсии	]
	[	Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее)	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 7
Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что при инверсии относительно описанной окружности изодинамические центры треугольника переходят друг в друга.

Решение

Воспользуемся обозначениями задачи 7.16. Докажем, что при инверсии относительно описанной окружности окружность S_a переходит в себя. Это эквивалентно тому, что описанная окружность ортогональна окружности S_a, т.е. при инверсии относительно окружности S_a описанная окружность переходит в себя. При инверсии относительно окружности S_a точка A переходит в себя, поэтому достаточно проверить, что точка B переходит в точку C, т.е. OB^.OC = OD², где O — середина отрезка DE. Пусть для определенности b < c. Тогда OD = ${\frac{1}{2}}$ $\left(\vphantom{\frac{ab}{c-b}+\frac{ab}{c+b}}\right.$ ${\frac{ab}{c-b}}$ + ${\frac{ab}{c+b}}$ $\left.\vphantom{\frac{ab}{c-b}+\frac{ab}{c+b}}\right)$ = ${\frac{abc}{c^2-b^2}}$ , OB = OD + DB = ${\frac{ac^2}{c^2-b^2}}$ и OC = ${\frac{ab^2}{c^2-b^2}}$ .

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	28
Название	Инверсия
Тема	Инверсия
параграф
Номер	1
Название	Свойства инверсии
Тема	Свойства инверсии
задача
Номер	28.007B