Задача 58341

Темы:    [ Инверсия помогает решить задачу ] [ Касающиеся окружности ] [ Окружность, вписанная в угол ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Условие

Найдите множество точек касания пар окружностей, касающихся сторон данного угла в данных точках A и B.

Решение

Пусть C — вершина данного угла. При инверсии с центром в точке A прямая CB перейдет в окружность S, а окружности S₁ и S₂ — в окружность S₁^* с центром O₁, касающуюся S в точке B^*, и прямую l, параллельную C^*A, касающуюся S₁^* в точке X (рис.). Проведем в окружности S радиус OD C^*A. Точки O, B^* и O₁ лежат на одной прямой, a OD| O₁X. Поэтому OB^*D = 90^o - DOB^*/2 = 90^o - (XO₁B^*/2) = O₁B^*X, следовательно, точка X лежит на прямой DB^*. Еще раз применив инверсию, получим, что искомое множество точек касания — это дуга AB окружности, проходящей через точки A, B и D^*.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	28
Название	Инверсия
Тема	Инверсия
параграф
Номер	4
Название	Сделаем инверсию
Тема	Инверсия помогает решить задачу
задача
Номер	28.023