Задача 58345

Темы:    [ Инверсия помогает решить задачу ] [ Касающиеся окружности ] [ Пересекающиеся окружности ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Условие

Через точки A и B проведены окружности S₁ и S₂, касающиеся окружности S, и окружность S₃, перпендикулярная S. Докажите, что S₃ образует равные углы с окружностями S₁ и S₂.

Решение

Сделав инверсию с центром A, мы получим три прямые, проходящие через B: прямые S₁^* и S₂^* касаются окружности S^*, а S₃^* ей перпендикулярна. Таким образом, прямая S₃^* проходит через центр S^* и является биссектрисой угла, образованного S₁^* и S₂^*. Следовательно, окружность S₃ делит пополам угол между S₁ и S₂.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	28
Название	Инверсия
Тема	Инверсия
параграф
Номер	4
Название	Сделаем инверсию
Тема	Инверсия помогает решить задачу
задача
Номер	28.027