Условие
Две окружности, пересекающиеся в точке
A, касаются окружности (или
прямой)
S1 в точках
B1 и
C1, а окружности (или прямой)
S2
в точках
B2 и
C2 (причем касание в
B2 и
C2 такое же,
как в
B1 и
C1). Докажите, что окружности, описанные вокруг
треугольников
AB1C1 и
AB2C2, касаются друг друга.
Решение
Из условия на типы касания следует, что после инверсии
с центром
A мы получим две окружности, вписанные в один и тот
же угол или в пару вертикальных углов. В любом случае окружности
S1*
и
S2* переводятся одна в другую гомотетией с центром
A. Эта
гомотетия переводит один отрезок, соединяющий точки касания,
в другой. Поэтому прямые
B1*C1* и
B2*C2* параллельны,
а их образы при инверсии касаются в точке
A.
Источники и прецеденты использования
