ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58346
Темы:    [ Инверсия помогает решить задачу ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Касающиеся окружности ]
[ Пересекающиеся окружности ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Две окружности, пересекающиеся в точке A, касаются окружности (или прямой) S1 в точках B1 и C1, а окружности (или прямой) S2 в точках B2 и C2 (причем касание в B2 и C2 такое же, как в B1 и C1). Докажите, что окружности, описанные вокруг треугольников AB1C1 и AB2C2, касаются друг друга.

Решение

Из условия на типы касания следует, что после инверсии с центром A мы получим две окружности, вписанные в один и тот же угол или в пару вертикальных углов. В любом случае окружности S1* и S2* переводятся одна в другую гомотетией с центром A. Эта гомотетия переводит один отрезок, соединяющий точки касания, в другой. Поэтому прямые B1*C1* и  B2*C2* параллельны, а их образы при инверсии касаются в точке A.


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 28
Название Инверсия
Тема Инверсия
параграф
Номер 4
Название Сделаем инверсию
Тема Инверсия помогает решить задачу
задача
Номер 28.028

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .