Дано 25 чисел. Какие бы три из них мы ни выбрали, среди оставшихся найдётся такое четвёртое, что сумма этих четырёх чисел будет положительна. Верно ли, что сумма всех чисел положительна?

   Решение

Тема:    [ Точки, лежащие на одной окружности, и окружности, проходящие через одну точку ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Даны четыре окружности, причем окружности S₁ и S₃ пересекаются с обеими окружностями S₂ и S₄. Докажите, что если точки пересечения S₁ с S₂ и S₃ с S₄ лежат на одной окружности или прямой, то и точки пересечения S₁ с S₄ и S₂ с S₃ лежат на одной окружности или прямой (рис.).

Решение

После инверсии с центром в точке пересечения S₁ и S₂ получим прямые l₁, l₂ и l, пересекающиеся в одной точке. Прямая l₁ пересекает окружность S₄^* в точках A и B, прямая l₂ пересекает S₃^* в точках C и D, а прямая l проходит через точки пересечения этих окружностей. Поэтому точки A, B, C, D лежат на одной окружности (задача 3.9).

Источники и прецеденты использования