Информация о задаче

Задача 56666

Темы:	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Через точку P, лежащую на общей хорде AB двух пересекающихся окружностей, проведены хорда KM первой окружности и хорда LN второй окружности. Докажите, что четырехугольник KLMN вписанный.

Решение

Пусть P — точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника ABCD. Четырехугольник ABCD вписанный тогда и только тогда, когда $\triangle$ APB $\sim$ $\triangle$ DPC, т. е. PA^.PC = PB^.PD. Так как четырехугольники ALBN и AMBK вписанные, то PL^.PN = PA^.PB = PM^.PK. Поэтому четырехугольник KLMN вписанный.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	3
Название	Окружности
Тема	Окружности
параграф
Номер	2
Название	Произведение длин отрезков хорд
Тема	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих
задача
Номер	03.009