Задача 58352

Тема:    [ Точки, лежащие на одной окружности, и окружности, проходящие через одну точку ]

Сложность: 6 Классы: 9,10

Условие

На плоскости взяты шесть точек A₁, A₂, A₃, B₁, B₂, B₃. Докажите, что если описанные окружности треугольников A₁A₂B₃, A₁B₂A₃ и B₁A₂A₃ проходят через одну точку, то и описанные окружности треугольников B₁B₂A₃, B₁A₂B₃ и A₁B₂B₃ пересекаются в одной точке.

Решение

После инверсии с центром в точке пересечения описанных окружностей треугольников A₁A₂B₃, A₁B₂A₃ и B₁A₂A₃ эти окружности перейдут в прямые, а утверждение задачи сведется к доказательству того, что описанные окружности треугольников B₁^*B₂^*A₃^*, B₁^*A₂^*B₃^* и  A₁^*B₂^*B₃^* проходят через одну точку, т. е. к утверждению задачи 2.80, а).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	28
Название	Инверсия
Тема	Инверсия
параграф
Номер	5
Название	Точки, лежащие на одной окружности, и окружности, проходящие через одну точку
Тема	Точки, лежащие на одной окружности, и окружности, проходящие через одну точку
задача
Номер	28.033