Задача 58353

Тема:    [ Точки, лежащие на одной окружности, и окружности, проходящие через одну точку ]

Сложность: 6 Классы: 9,10

Условие

На плоскости взяты шесть точек A₁, A₂, B₁, B₂, C₁, C₂. Докажите, что если окружности, описанные около треугольников A₁B₁C₁, A₁B₂C₂, A₂B₁C₂, A₂B₂C₁, проходят через одну точку, то и окружности, описанные около треугольников A₂B₂C₂, A₂B₁C₁, A₁B₂C₁, A₁B₁C₂, проходят через одну точку.

Решение

После инверсии с центром в точке пересечения описанных окружностей треугольников A₁B₁C₁, A₁B₂C₂, A₂B₁C₂ и A₂B₂C₁ мы получим четыре прямые и четыре окружности, описанные около образованных этими прямыми треугольников. Согласно задаче 2.83, а) эти окружности проходят через одну точку.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	28
Название	Инверсия
Тема	Инверсия
параграф
Номер	5
Название	Точки, лежащие на одной окружности, и окружности, проходящие через одну точку
Тема	Точки, лежащие на одной окружности, и окружности, проходящие через одну точку
задача
Номер	28.034