Условие
Докажите, что растяжение плоскости является аффинным преобразованием.
Решение
Нам надо доказать, что если
A',
B',
C' — образы точек
A,
B,
C при растяжении относительно прямой
l с коэффициентом
k
и точка
C лежит на прямой
AB, то точка
C' лежит на прямой
A'B'. Пусть

=
t
. Обозначим через
A1,
B1,
C1
проекции точек
A,
B,
C на прямую
l, и пусть
a =

,
b =

,
c =

,
a' =

,
b' =

,
c' =

,
x =

,
y =

. Из того, что при проекции на прямую
l
сохраняется отношение длин пропорциональных векторов, следует, что
y =
tx и
y + (
c -
a) =
t(
y + (
b -
a)).
Вычитая первое равенство из второго, получаем
(
c -
a) =
t(
b -
a). По определению растяжения
a' =
ka,
b' =
kb,
c' =
kc, поэтому

=
y +
k(
c -
a) =
tx +
k(
t(
b -
a)) =
t(
x +
k(
b -
a)) =
t
.
Источники и прецеденты использования