Задача 58365

Тема:    [ Аффинные преобразования и их свойства ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

а) Докажите, что существует единственное аффинное преобразование, которое переводит данную точку O в данную точку O', а данный базис векторов  e₁, e₂ — в данный базис  e₁', e₂'.
б) Даны два треугольника ABC и A₁B₁C₁. Докажите, что существует единственное аффинное преобразование, переводящее точку A в A₁, B — в B₁, C — в C₁.
в) Даны два параллелограмма. Докажите, что существует единственное аффинное преобразование, которое один из них переводит в другой.

Решение

а) Зададим отображение L следующим образом. Пусть X — произвольная точка. Поскольку  e₁, e₂ — базис, существуют однозначно определенные числа  x₁ и  x₂ такие, что = x₁e₁ + x₂e₂. Поставим в соответствие точке X такую точку X' = L(X), что = x₁e₁' + x₂e₂'. Так как e₁', e₂' — тоже базис, полученное отображение взаимно однозначно. (Обратное отображение строится аналогично.) Докажем, что любая прямая AB при отображении L переходит в прямую. Пусть A' = L(A), B' = L(B) и a₁, a₂, b₁, b₂ — координаты точек A и B в базисе  e₁, e₂, т. е. такие числа, что = a₁e₁ + a₂e₂, = b₁e₁ + b₂e₂. Рассмотрим произвольную точку C прямой AB. Тогда = k при некотором k, т. е. = + k( - ) = ((1 - k)a₁ + kb₁)e₁ + ((1 - k)a₂ + kb₂)e₂. Следовательно, если C' = L(C), то = ((1 - k)a₁ + kb₁)e₁' + ((1 - k)a₂ + kb₂)e₂' = + k( - ), т. е. точка C' лежит на прямой A'B'.
Единственность отображения L следует из результата задачи 29.4. В самом деле, L() = x₁L(e₁) + x₂L(e₂), т. е. образ точки X однозначно определяется образами векторов  e₁, e₂ и точки O.
б) Для доказательства можно воспользоваться предыдущей задачей, положив O = A, e₁ = , e₂ = , O' = A₁, e₁' = , e₂' = .
в) Следует из задачи б) и из того. что параллельные прямые переходят в параллельные.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	29
Название	Аффинные преобразования
Тема	Аффинная геометрия
параграф
Номер	1
Название	Аффинные преобразования
Тема	Аффинные преобразования и их свойства
задача
Номер	29.006