Задача 58367

Тема:    [ Аффинные преобразования и их свойства ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что если при аффинном (не тождественном) преобразовании L каждая точка некоторой прямой l переходит в себя, то все прямые вида ML(M), где в качестве M берутся произвольные точки, не лежащие на прямой l, параллельны друг другу.

Решение

Пусть M и N — произвольные точки, не лежащие на прямой l. Обозначим через M₀ и N₀ их проекции на прямую l, а через M' и N' — образы точек M и N при отображении L. Прямые M₀M и N₀N параллельны, так как они обе перпендикулярны l, т. е. существует такое число k, что = k. Тогда согласно задаче 29.4, в) = k. Поэтому образ треугольника M₀MM' при параллельном переносе на вектор гомотетичен с коэффициентом k треугольнику N₀NN', следовательно, прямые MM' и NN' параллельны.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	29
Название	Аффинные преобразования
Тема	Аффинная геометрия
параграф
Номер	1
Название	Аффинные преобразования
Тема	Аффинные преобразования и их свойства
задача
Номер	29.007