Условие
Докажите, что если при аффинном (не тождественном) преобразовании
L
каждая точка некоторой прямой
l переходит в себя, то все прямые
вида
ML(
M), где в качестве
M берутся произвольные точки, не
лежащие на прямой
l, параллельны друг другу.
Решение
Пусть
M и
N — произвольные точки, не лежащие на прямой
l.
Обозначим через
M0 и
N0 их проекции на прямую
l, а через
M'
и
N' — образы точек
M и
N при отображении
L. Прямые
M0M
и
N0N параллельны, так как они обе перпендикулярны
l, т. е.
существует такое число
k, что
=
k
. Тогда
согласно задаче
29.4, в)
=
k
. Поэтому образ
треугольника
M0MM' при параллельном переносе на вектор
гомотетичен с коэффициентом
k треугольнику
N0NN', следовательно,
прямые
MM' и
NN' параллельны.
Источники и прецеденты использования
