Условие
Докажите, что если аффинное преобразование переводит некоторую
окружность в себя, то оно является либо поворотом, либо симметрией.
Решение
Докажем сначала, что аффинное преобразование L, переводящее
данную окружность в себя, переводит диаметрально противоположные
точки в диаметрально противоположные. Для этого заметим,
что касательная к окружности в точке A переходит в прямую, которая
в силу взаимной однозначности преобразования L пересекается
с окружностью в единственной точке L(A), т. е. является касательной
в точке L(A). Поэтому если касательные в точках A и B параллельны
(т. е. AB — диаметр), то касательные в точках L(A) и L(B) тоже
параллельны, т. е. L(A)L(B) — тоже диаметр.
Фиксируем какой-нибудь диаметр AB данной окружности. Поскольку
L(A)L(B) — тоже диаметр, то существует движение P,
являющееся поворотом или симметрией, которое переводит A
и B в L(A) и L(B), а каждую из дуг 
и 
, на
которые точки A и B делят данную окружность, — в образ
этой дуги при отображении L.
Докажем, что отображение
F = P-1oL является тождественным.
В самом деле, F(A) = A и F(B) = B, следовательно, все точки прямой
AB остаются неподвижными. Поэтому если X — произвольная точка
окружности, то касательная в точке X пересекает прямую AB там
же, где и касательная в точке X' = F(X), так как точка пересечения
остается неподвижной. А поскольку X и X' лежат на одной и той
же из двух дуг или , то точка X совпадает с точкой X'.
Итак,
P-1oL — тождественное преобразование, т. е. L = P.
Источники и прецеденты использования
