Условие
Докажите, что если M' и N' — образы многоугольников M
и N при аффинном преобразовании, то отношение
площадей M и N равно отношению площадей M' и N'.
Решение
Пусть a1 и a2 — какие-нибудь две перпендикулярные прямые.
Поскольку аффинное преобразование сохраняет отношение длин
параллельных отрезков, то длины всех отрезков, параллельных одной
прямой, умножаются на один и тот же коэффициент. Обозначим
через k1 и k2 эти коэффициенты для прямых a1 и a2.
Пусть 
— угол между образами этих прямых. Докажем, что данное
аффинное преобразование изменяет площади всех многоугольников
в k раз, где
k = k1k2sin.
Для прямоугольника со сторонами, параллельными a1 и a2,
а также для прямоугольного треугольника с катетами, параллельными a1
и a2, это утверждение очевидно. Любой другой треугольник можно
получить, отрезав от прямоугольника со сторонами, параллельными a1
и a2, несколько прямоугольных треугольников с катетами,
параллельными a1 и a2 (рис.), и, наконец, согласно
задаче 22.22, любой многоугольник можно разрезать на треугольники.
Источники и прецеденты использования
