Информация о задаче

Задача 58373

Тема:

[

Аффинные преобразования и их свойства

]

Сложность: 6
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что любой выпуклый четырехугольник, кроме трапеции, аффинным преобразованием можно перевести в четырехугольник, у которого противоположные углы прямые.

Решение

Случаи трапеции и параллелограмма легко разбираются, поэтому будем предполагать, что у выпуклого четырехугольника ABCD нет параллельных сторон. Для определенности будем считать, что пересекаются лучи AB и DC, BC и AD. Пусть $\overrightarrow{AB}$ = a, $\overrightarrow{BC}$ = b, $\overrightarrow{CD}$ = pa + qb, $\overrightarrow{DA}$ = ua + vb. Тогда p < 0, q > 0, u < 0, v < 0.
Рассмотрим аффинное преобразование, которое переводит векторы a и b в ортогональные векторы a' и b', длины которых равны $\lambda$ и $\mu$ . Нам нужно, чтобы обращалось в нуль скалярное произведение

(pa + qb, ua + vb) = pu $\displaystyle \lambda^{2}_{}$ + qv $\displaystyle \mu^{2}_{}$ .

Поскольку pu > 0 и qv < 0, этого всегда можно добиться выбором чисел $\lambda$ и $\mu$ .
Отметим, что при любом аффинном преобразовании образ угла при вершине C больше образа угла при вершине A; эти углы нельзя сделать равными.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	29
Название	Аффинные преобразования
Тема	Аффинная геометрия
параграф
Номер	1
Название	Аффинные преобразования
Тема	Аффинные преобразования и их свойства
задача
Номер	29.013B