Задача 58378

Тема:    [ Аффинные преобразования и их свойства ]

Сложность: 7+ Классы: 8,9

Условие

Пусть L — взаимно однозначное отображение плоскости в себя, переводящее любую окружность в некоторую окружность. Докажите, что L — аффинное преобразование.

Решение

Воспользуемся задачей 29.13B4. Преобразование L^-1 переводит любые три точки L(A), L(B), L(C), лежащие на одной прямой, в три точки A, B, C, лежащие на одной прямой. Действительно, если точки A, B, C не лежат на одной прямой, то они попарно различны и через них можно провести окружность. Поэтому точки L(A), L(B), L(C) попарно различны и лежат на одной окружности. Следовательно, эти точки не лежат на одной прямой. Таким образом, преобразование L^-1 аффинное, а значит, преобразование L тоже аффинное.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	29
Название	Аффинные преобразования
Тема	Аффинная геометрия
параграф
Номер	1
Название	Аффинные преобразования
Тема	Аффинные преобразования и их свойства
задача
Номер	29.013B5