Условие
Пусть
L — взаимно однозначное отображение плоскости в себя,
переводящее любую окружность в некоторую окружность. Докажите, что
L — аффинное преобразование.
Решение
Воспользуемся задачей
29.13B4.
Преобразование
L-1 переводит любые три точки
L(
A),
L(
B),
L(
C), лежащие на
одной прямой, в три точки
A,
B,
C, лежащие на одной прямой. Действительно, если
точки
A,
B,
C не лежат на одной прямой, то они попарно различны и через них
можно провести окружность. Поэтому точки
L(
A),
L(
B),
L(
C) попарно различны и
лежат на одной окружности. Следовательно, эти точки не лежат на одной прямой.
Таким образом, преобразование
L-1 аффинное, а значит, преобразование
L тоже аффинное.
Источники и прецеденты использования
