Условие
Дан треугольник ABC. Пусть O — точка пересечения
его медиан, а M, N и P — точки сторон AB, BC и CA,
делящие эти стороны в одинаковых отношениях (т. е.
AM : MB = BN : NC = CP : PA = p : q). Докажите, что:
а) O — точка пересечения медиан треугольника MNP;
б) O — точка пересечения медиан треугольника, образованного
прямыми AN, BP и CM.
Решение
а) Рассмотрим аффинное преобразование, переводящее треугольник ABC
в правильный треугольник A'B'C'. Пусть O', M', N', P' —
образы точек O, M, N, P. При повороте на
120o вокруг
точки O' треугольник M'N'P' переходит в себя, поэтому этот
треугольник правильный и O' — точка пересечения его медиан.
Поскольку при аффинном преобразовании медиана переходит в медиану,
O — точка пересечения медиан треугольника MNP.
б) Решение аналогично решению предыдущей задачи.
Источники и прецеденты использования
