Задача 58382

Тема:    [ Решение задач при помощи аффинных преобразований ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

Условие

В трапеции ABCD с основаниями AD и BC через точку B проведена прямая, параллельная стороне CD и пересекающая диагональ AC в точке P, а через точку C — прямая, параллельная стороне AB и пересекающая диагональ BD в точке Q. Докажите, что прямая PQ параллельна основаниям трапеции.

Решение

Рассмотрим аффинное преобразование, переводящее ABCD в равнобедренную трапецию A'B'C'D'. В качестве такого преобразования можно взять аффинное преобразование, переводящее треугольник ADE в равнобедренный треугольник (E — точка пересечения прямых AB и CD). Тогда при симметрии относительно серединного перпендикуляра к A'D' точка P' переходит в точку Q', т. е. прямые P'Q' и A'D' параллельны.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	29
Название	Аффинные преобразования
Тема	Аффинная геометрия
параграф
Номер	2
Название	Решение задач при помощи аффинных преобразований
Тема	Решение задач при помощи аффинных преобразований
задача
Номер	29.015