Задача 58383

Тема:    [ Решение задач при помощи аффинных преобразований ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Условие

В параллелограмме ABCD точки A₁, B₁, C₁, D₁ лежат соответственно на сторонах AB, BC, CD, DA. На сторонах A₁B₁, B₁C₁, C₁D₁, D₁A₁ четырехугольника A₁B₁C₁D₁ взяты соответственно точки A₂, B₂, C₂, D₂. Известно, что

= = = = = = = .

Докажите, что A₂B₂C₂D₂ — параллелограмм со сторонами, параллельными сторонам ABCD.

Решение

Любой параллелограмм ABCD аффинным преобразованием можно перевести в квадрат (для этого нужно треугольник ABC перевести в равнобедренный прямоугольный треугольник). Поскольку в задаче идет речь только о параллельности прямых и об отношениях отрезков, лежащих на одной прямой, можно считать, что ABCD — квадрат. Рассмотрим поворот на 90^o, переводящий ABCD в себя. При этом повороте четырехугольники A₁B₁C₁D₁ и  A₂B₂C₂D₂ тоже переходят в себя, следовательно, они тоже являются квадратами. При этом tgBA₁B₁ = BB₁ : BA₁ = A₁D₂ : A₁A₂ = tgA₁A₂D₂, т. е. AB| A₂D₂ (рис.).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	29
Название	Аффинные преобразования
Тема	Аффинная геометрия
параграф
Номер	2
Название	Решение задач при помощи аффинных преобразований
Тема	Решение задач при помощи аффинных преобразований
задача
Номер	29.016