ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58408
Тема:    [ Эллипсы Штейнера ]
Сложность: 7
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите барицентрические координаты точки Штейнера.

Решение

Описанный эллипс Штейнера задается уравнением $ \beta$$ \gamma$ + $ \alpha$$ \gamma$ + $ \alpha$$ \beta$ = 0 (задача EllSteUr), а описанная окружность -- уравнением a2$ \beta$$ \gamma$ + b2$ \alpha$$ \gamma$ + c2$ \alpha$$ \beta$ = 0, где a, b, c — длины сторон (задача 14.37). Из первого уравнения получаем $ \gamma$ = - $ \alpha$$ \beta$/($ \alpha$ + $ \beta$). Подставив это выражение во второе уравнение, получим $ \alpha$ : $ \beta$ = (c2 - a2) : (b2 - c2). Таким образом, точка Штейнера имеет барицентрические координаты

$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{b^2-c^2}:\frac{1}{c^2-a^2}:\frac{1}{a^2-b^2}}\right.$$\displaystyle {\frac{1}{b^2-c^2}}$ : $\displaystyle {\frac{1}{c^2-a^2}}$ : $\displaystyle {\frac{1}{a^2-b^2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{b^2-c^2}:\frac{1}{c^2-a^2}:\frac{1}{a^2-b^2}}\right)$.


Замечание. На с. ______________-1 дано другое определение точки Штейнера. Задача 14.47 показывает, что эти определения эквивалентны.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 29
Название Аффинные преобразования
Тема Аффинная геометрия
параграф
Номер 4
Название Эллипсы Штейнера
Тема Эллипсы Штейнера
задача
Номер 29.036

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .