Условие
Докажите, что существует проективное отображение,
которое три данные точки одной прямой переводит в три
данные точки другой прямой.
Решение
Обозначим данные прямые через l0 и l, данные точки на
прямой l0 — через A0, B0, C0, данные точки на
прямой l — через A, B, C. Пусть l1 — произвольная
прямая, не проходящая через точку A. Возьмем произвольную
точку O0, не лежащую на прямых l0 и l1. Обозначим
через P0 центральное проектирование прямой l0 на прямую l1
с центром в точке O0, а через A1, B1, C1 — проекции
точек A0, B0, C0. Пусть l2 — произвольная прямая,
проходящая через точку A, не совпадающая с прямой l и не
проходящая через A1. Возьмем некоторую точку O1 на прямой AA1
и рассмотрим центральное проектирование P1 прямой l1 на l2
с центром в O1. Обозначим через A2, B2, C2 проекции
точек A1, B1, C1. Ясно, что A2 совпадает с A. Наконец,
пусть P2 — проектирование прямой l2 на прямую l, которое
в том случае, когда прямые BB2 и CC2 не параллельны,
является центральным проектированием с центром в точке пересечения
этих прямых, а в том случае, когда прямые BB2 и CC2
параллельны, является параллельным проектированием вдоль одной из
этих прямых. Композиция
P2oP1oP0 является
требуемым проективным преобразованием.
Источники и прецеденты использования
