Условие
Докажите, что существует проективное отображение,
которое три данные точки одной прямой переводит в три
данные точки другой прямой.
Решение
Обозначим данные прямые через
l0 и
l, данные точки на
прямой
l0 — через
A0,
B0,
C0, данные точки на
прямой
l — через
A,
B,
C. Пусть
l1 — произвольная
прямая, не проходящая через точку
A. Возьмем произвольную
точку
O0, не лежащую на прямых
l0 и
l1. Обозначим
через
P0 центральное проектирование прямой
l0 на прямую
l1
с центром в точке
O0, а через
A1,
B1,
C1 — проекции
точек
A0,
B0,
C0. Пусть
l2 — произвольная прямая,
проходящая через точку
A, не совпадающая с прямой
l и не
проходящая через
A1. Возьмем некоторую точку
O1 на прямой
AA1
и рассмотрим центральное проектирование
P1 прямой
l1 на
l2
с центром в
O1. Обозначим через
A2,
B2,
C2 проекции
точек
A1,
B1,
C1. Ясно, что
A2 совпадает с
A. Наконец,
пусть
P2 — проектирование прямой
l2 на прямую
l, которое
в том случае, когда прямые
BB2 и
CC2 не параллельны,
является центральным проектированием с центром в точке пересечения
этих прямых, а в том случае, когда прямые
BB2 и
CC2
параллельны, является параллельным проектированием вдоль одной из
этих прямых. Композиция
P2oP1oP0 является
требуемым проективным преобразованием.
Источники и прецеденты использования
