ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 58410
Условиеа) Даны прямые a, b, c, d, проходящие через одну точку, и прямая l, через эту точку не проходящая. Пусть A, B, C, D — точки пересечения прямой l с прямыми a, b, c, d соответственно. Докажите, что (abcd )= (ABCD).б) Докажите, что двойное отношение четверки точек сохраняется при проективных преобразованиях. Решениеа) Обозначим точку пересечения четырех данных прямых через O; пусть H — проекция этой точки на прямую l и h = OH. Тогда
Поделив первое равенство на второе, а третье — на четвертое, получаем
= , = .
Деля получившиеся равенства, получаем
|(ABCD)| = |(abcd )|. Для
доказательства того, что числа (ABCD) и (abcd ) имеют одинаковый
знак, можно, например, выписать все возможные способы расположения
точек на прямой (24 способа), и в каждом случае
убедиться в том, что (ABCD) положительно тогда и только тогда,
когда пара прямых a, b не разделяет пару прямых c, d.
б) является непосредственным следствием задачи а). Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|