Задача 58410

Тема:    [ Проективные преобразования прямой ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Условие

а) Даны прямые a, b, c, d, проходящие через одну точку, и прямая l, через эту точку не проходящая. Пусть A, B, C, D — точки пересечения прямой l с прямыми a, b, c, d соответственно. Докажите, что (abcd )= (ABCD).
б) Докажите, что двойное отношение четверки точек сохраняется при проективных преобразованиях.

Решение

а) Обозначим точку пересечения четырех данных прямых через O; пусть H — проекция этой точки на прямую l и h = OH. Тогда

	2SOAC = OA . OC sin(a, c) = h . AC,
	2SOBC = OB . OC sin(b, c) = h . BC,
	2SOAD = OA . OD sin(a, d )= h . AD,
	2SOBD = OB . OD sin(b, d )= h . BD.

Поделив первое равенство на второе, а третье — на четвертое, получаем

= ,     = .

Деля получившиеся равенства, получаем |(ABCD)| = |(abcd )|. Для доказательства того, что числа (ABCD) и (abcd ) имеют одинаковый знак, можно, например, выписать все возможные способы расположения точек на прямой (24 способа), и в каждом случае убедиться в том, что (ABCD) положительно тогда и только тогда, когда пара прямых a, b не разделяет пару прямых c, d.
б) является непосредственным следствием задачи а).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	30
Название	Проективные преобразования
Тема	Проективная геометрия
параграф
Номер	1
Название	Проективные преобразования прямой
Тема	Проективные преобразования прямой
задача
Номер	30.002