ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58410
Тема:    [ Проективные преобразования прямой ]
Сложность: 5
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) Даны прямые a, b, c, d, проходящие через одну точку, и прямая l, через эту точку не проходящая. Пусть A, B, C, D — точки пересечения прямой l с прямыми a, b, c, d соответственно. Докажите, что (abcd )= (ABCD).
б) Докажите, что двойное отношение четверки точек сохраняется при проективных преобразованиях.

Решение

а) Обозначим точку пересечения четырех данных прямых через O; пусть H — проекция этой точки на прямую l и h = OH. Тогда

  2SOAC = OA . OC sin(a, c) = h . AC,    
  2SOBC = OB . OC sin(b, c) = h . BC,    
  2SOAD = OA . OD sin(a, d )= h . AD,    
  2SOBD = OB . OD sin(b, d )= h . BD.    

Поделив первое равенство на второе, а третье — на четвертое, получаем

$\displaystyle {\frac{OA\sin(a,c)}{OB\sin(b,c)}}$ = $\displaystyle {\frac{AC}{BC}}$,    $\displaystyle {\frac{OA\sin(a,d)}{OB\sin(b,d)}}$ = $\displaystyle {\frac{AD}{BD}}$.

Деля получившиеся равенства, получаем |(ABCD)| = |(abcd )|. Для доказательства того, что числа (ABCD) и (abcd ) имеют одинаковый знак, можно, например, выписать все возможные способы расположения точек на прямой (24 способа), и в каждом случае убедиться в том, что (ABCD) положительно тогда и только тогда, когда пара прямых a, b не разделяет пару прямых c, d.
б) является непосредственным следствием задачи а).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 30
Название Проективные преобразования
Тема Проективная геометрия
параграф
Номер 1
Название Проективные преобразования прямой
Тема Проективные преобразования прямой
задача
Номер 30.002

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .