Информация о задаче

Задача 58411

Тема:

[

Проективные преобразования прямой

]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если (ABCX) = (ABCY), то X = Y (все точки попарно различны, кроме, быть может, точек X и Y, и лежат на одной прямой).

Решение

Пусть a, b, c, x, y — координаты точек A, B, C, X, Y. Тогда

$\displaystyle {\frac{x-a}{x-b}}$ : $\displaystyle {\frac{c-a}{c-b}}$ = $\displaystyle {\frac{y-a}{y-b}}$ : $\displaystyle {\frac{c-a}{c-b}}$ .

Следовательно, поскольку все точки различны, (x - a)(y - b) = (x - b)(y - a). Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем ax - bx = ay - by. Сокращая это равенство на (a - b), получаем x = y.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	30
Название	Проективные преобразования
Тема	Проективная геометрия
параграф
Номер	1
Название	Проективные преобразования прямой
Тема	Проективные преобразования прямой
задача
Номер	30.003