ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58411
Тема:    [ Проективные преобразования прямой ]
Сложность: 5
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если (ABCX) = (ABCY), то X = Y (все точки попарно различны, кроме, быть может, точек X и Y, и лежат на одной прямой).

Решение

Пусть a, b, c, x, y — координаты точек A, B, C, X, Y. Тогда

$\displaystyle {\frac{x-a}{x-b}}$ : $\displaystyle {\frac{c-a}{c-b}}$ = $\displaystyle {\frac{y-a}{y-b}}$ : $\displaystyle {\frac{c-a}{c-b}}$.

Следовательно, поскольку все точки различны, (x - a)(y - b) = (x - b)(y - a). Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем ax - bx = ay - by. Сокращая это равенство на (a - b), получаем x = y.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 30
Название Проективные преобразования
Тема Проективная геометрия
параграф
Номер 1
Название Проективные преобразования прямой
Тема Проективные преобразования прямой
задача
Номер 30.003

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .