Задача 58418

Тема:    [ Проективные преобразования прямой ]

Сложность: 6 Классы: 8,9

Условие

Даны прямая l, окружность и точка M, лежащая на окружности и не лежащая на прямой l. Пусть P_M — проектирование прямой l на данную окружность из точки M (точка X прямой отображается в отличную от M точку пересечения прямой XM с окружностью), R — движение плоскости, сохраняющее данную окружность (т. е. поворот плоскости вокруг центра окружности или симметрия относительно диаметра). Докажите, что композиция P_M^-1oRoP_M является проективным преобразованием.

Решение

Пусть N = R^-1(M), m = R(l ), P_N — проектирование прямой l на окружность из точки N, Q — проектирование прямой m на прямую l из точки M. Тогда P_M^-1oRoP_M = QoRoP_N^-1oP_M. Но согласно предыдущей задаче отображение P_N^-1oP_M проективно.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	30
Название	Проективные преобразования
Тема	Проективная геометрия
параграф
Номер	1
Название	Проективные преобразования прямой
Тема	Проективные преобразования прямой
задача
Номер	30.010