Условие
Пусть O — точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD,
а E, F — точки пересечения продолжений сторон AB и CD,
BC и AD соответственно. Прямая EO пересекает стороны AD и BC
в точках K и L, а прямая FO пересекает стороны AB и CD
в точках M и N. Докажите, что точка X пересечения прямых KN
и LM лежит на прямой EF.
Решение
Сделаем проективное преобразование с исключительной
прямой EF. Тогда четырехугольник ABCD перейдет в параллелограмм,
а прямые KL и MN — в прямые, параллельные его сторонам
и проходящие через точку пересечения диагоналей, т. е. в средние
линии. Поэтому образы точек K, L, M, N являются серединами
сторон параллелограмма и, следовательно, образы прямых KN и LM
параллельны, т. е. точка X переходит в бесконечно удаленную точку,
а значит, X лежит на исключительной прямой EF.
Источники и прецеденты использования
