Условие
Даны два треугольника ABC и A1B1C1. Известно, что
прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке O,
прямые AA1, BC1 и CB1 пересекаются в одной точке O1
и прямые AC1, BB1 и CA1 пересекаются в одной точке O2.
Докажите, что прямые AB1, BA1 и CC1 тоже пересекаются
в одной точке O3 (теорема о трижды перспективных треугольниках).
Решение
Рассмотрим проективное преобразование с исключительной
прямой O1O2 и обозначим через A', B',... образы
точек A, B,... Тогда
A'C1'| C'A1'| B'B1',
B'C1'| C'B1'| A'A1'. Будем для определенности считать,
что точка C лежит внутри угла A'O'B' (остальные случаи
переобозначением сводятся к этому). Сделав еще, если
необходимо, аффинное преобразование, мы можем считать, что
параллелограмм
O'A'C1'B' является квадратом, а значит,
O'A1'C'B1' — тоже квадрат, причем диагонали O'C1' и O'C' этих квадратов лежат на одной прямой. Остается воспользоваться
симметрией относительно этой прямой.
Источники и прецеденты использования
