Условие
Точки A и B лежат на прямых a и b соответственно,
а точка P не лежит ни на одной из этих прямых. Циркулем
и линейкой проведите через P прямую, пересекающую прямые a
и b в точках X и Y соответственно таких, что длины
отрезков AX и BY имеют а) данное отношение; б) данное
произведение.
Решение
а) Обозначим через k число, которому должно равняться
отношение AX/BY. Рассмотрим проективное преобразование прямой a,
являющееся композицией проецирования прямой a на прямую b
из точки P, движения плоскости, переводящего b в a и B в A,
и, наконец, гомотетии с центром A и коэффициентом k. Искомая
точка X является неподвижной точкой этого преобразования.
Построение точки Y очевидно.
б) Обозначим через k число, которому должно равняться
произведение
AX . BY, через Q — точку пересечения прямых,
проходящих через точки A и B параллельно прямым b и a
соответственно, и пусть
p = AQ . BQ. Рассмотрим проективное
преобразование прямой a, являющееся композицией проецирования
прямой a на прямую b из точки P, проецирования b на a из Q,
и гомотетии с центром A и коэффициентом k/p. Пусть X —
неподвижная точка этого преобразования, Y — ее образ при
первом проецировании, а X1 — образ Y при втором
проецировании. Докажем, что прямая XY искомая. Действительно,
из подобия треугольников AQX1 и BYQ следует
AX1 . BY = AQ . BQ = p,
а значит,
AX . BY = (k/p)AX1 . BY = k.
Источники и прецеденты использования
