Информация о задаче

Задача 58471

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если ac - b² ≠ 0, то кривая Q(x, y) + 2dx + 2ey = f, где Q (x, y) = ax² + 2bxy + cy² изометрична либо кривой ${\dfrac{x^2}{\alpha^2}}$ + ${\dfrac{y^2}{\beta^2}}$ = 1 (называемой эллипсом), либо кривой ${\dfrac{x^2}{\alpha^2}}$ - ${\dfrac{y^2}{\beta^2}}$ = 1, (называемой гиперболой), либо паре пересекающихся прямых ${\dfrac{x^2}{\alpha^2}}$ = ${\dfrac{y^2}{\beta^2}}$ , либо представляет собой одну точку или пустое множество.

Решение

Если b = 0, то требуемое представление можно получить с помощью параллельного переноса (задача 31.001). Если же b ≠ 0, то помимо параллельного переноса нужно применить поворот (задача 31.002). После этого, произведя очевидные преобразования, получим уравнения вида

$\displaystyle {\frac{{x''}^2}{\alpha^2 }}$ ± $\displaystyle {\frac{{y''}^2}{\beta^2}}$ = 0 или $\displaystyle {\frac{{x''}^2}{\alpha^2 }}$ ± $\displaystyle {\frac{{y''}^2}{\beta^2}}$ = 1.

Здесь оба числа α² и β² не равны нулю, поскольку согласно задаче 31.003 α²β² = ±(ac - b²).

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	31
Название	Эллипс, парабола, гипербола
Тема	Неопределено
параграф
Номер	1
Название	Классификация кривых второго порядка
Тема	Кривые второго порядка
задача
Номер	31.004