ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58489
Темы:    [ Кривые второго порядка ]
[ Метод координат на плоскости ]
[ Ромбы. Признаки и свойства ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что все вписанные в эллипс ромбы описаны вокруг одной окружности.

Решение

Пусть ромб ABCD вписан в эллипс с центром O. Тогда радиус r вписанной окружности ромба равен высоте прямоугольного треугольника AOB, т. е.

$\displaystyle {\frac{1}{r^2}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{OA^2}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{OB^2}}$.


Для эллипса $ {\dfrac{x^2}{a^2}}$ + $ {\dfrac{y^2}{b^2}}$ = 1 прямые OA и OB имеют уравнения y = kx и y = - x/k, а точки A и B имеют координаты (x0, y0) и (x1, y1), где

x02$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{a^2}+\frac{k^2}{b^2}}\right.$$\displaystyle {\frac{1}{a^2}}$ + $\displaystyle {\frac{k^2}{b^2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{a^2}+\frac{k^2}{b^2}}\right)$ = 1,    x12$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{k^2b^2}}\right.$$\displaystyle {\frac{1}{a^2}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{k^2b^2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{k^2b^2}}\right)$ = 1.5000

Поэтому

$\displaystyle {\frac{1}{OA^2}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{OB^2}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{1}{a^2}+\frac{k^2}{b^2}}{1+k^2}}$ + $\displaystyle {\frac{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{k^2b^2}}{1+\frac{1}{k^2}}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{a^2}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{b^2}}$,

т. е. радиус r не зависит от положения ромба.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 31
Название Эллипс, парабола, гипербола
Тема Неопределено
параграф
Номер 2
Название Эллипс
Тема Кривые второго порядка
задача
Номер 31.022

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .