ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58490
Тема:    [ Кривые второго порядка ]
Сложность: 3
Классы: 10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Окружность, центр которой лежит на эллипсе, касается двух сопряженных диаметров. Докажите, что радиус окружности не зависит от выбора сопряженных диаметров.

Решение

Сопряженные диаметры можно представить посредством диагоналей параллелограмма ABCD, описанного вокруг эллипса с центром O. Пусть биссектрисы углов AOB, BOC, COD, DOA пересекают стороны этого параллелограмма в точках A1, B1, C1, D1 соответственно, а лучи OA1, OB1, OC1, OD1 пересекают эллипс в точках A2, B2, C2, D2. Тогда точки A2, B2, C2, D2 — центры рассматриваемых окружностей.
Достаточно доказать, что A2B2C2D2 — параллелограмм со сторонами, параллельными прямым AC и BD. В самом деле, диагонали этого параллелограмма перпендикулярны, поэтому он — ромб. Согласно задаче 31.022 радиус вписанной окружности такого ромба зависит только от эллипса и не зависит от положения ромба. Из параллельности прямых A2B2 и AC следует, что радиус вписанной окружности ромба равен расстоянию от точки A2 до прямой AC, т. е. он равен радиусу рассматриваемой окружности с центром A2.
Докажем, например, что A2B2 || AC. Сначала заметим, что A1B1 || AC, так как

AA1 : A1B = AO : BO = CO : BO = CB1 : BB1.

Сделаем аффинное преобразование, переводящее рассматриваемые сопряженные диаметры в диаметры окружности. В таком случае образы прямых A1O и B1O будут симметричны относительно прямой OB, поэтому образ прямой A2B2 будут параллелен образу прямой AC.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 31
Название Эллипс, парабола, гипербола
Тема Неопределено
параграф
Номер 2
Название Эллипс
Тема Кривые второго порядка
задача
Номер 31.023

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .