Информация о задаче

Задача 58494

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

Прислать комментарий

Условие

Три окружности, центры которых лежат на большой оси эллипса, касаются эллипса. При этом окружность радиуса r₂ касается (внешним образом) окружностей радиуса r₁ и r₃. Докажите, что

r₁ + r₃ = $\displaystyle {\frac{2a^2(a^2-2b^2)}{a^4}}$ r₂.

Решение

Согласно задаче 31.026

r₁ + r₂ = OC₁ - OC₂ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{b}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{\sqrt{b^2-r_1^2}-\sqrt{b^2-r_2^2}}\right.$ $\displaystyle \sqrt{b^2-r_1^2}$ - $\displaystyle \sqrt{b^2-r_2^2}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\sqrt{b^2-r_1^2}-\sqrt{b^2-r_2^2}}\right)$ .

Это выражение можно преобразовать к виду

a⁴r²₁ - 2a²(a² - 2b²)r₁r₂ + a⁴r₂² - 4b⁴(a² - b²) = 0.

Рассмотрим полученное выражение как квадратное уравнение относительно r₁. Оно имеет корни r₁ и r₃, поэтому

r₁ + r₃ = $\displaystyle {\frac{2a^2(a^2-2b^2)}{a^4}}$ r₂.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	31
Название	Эллипс, парабола, гипербола
Тема	Неопределено
параграф
Номер	2
Название	Эллипс
Тема	Кривые второго порядка
задача
Номер	31.027