Задача 58509

Тема:    [ Кривые второго порядка ]

Сложность: 3 Классы: 10

Условие

Докажите, что окружность девяти точек треугольника ABC, вершины которого лежат на равнобочной гиперболе, проходит через центр O гиперболы.

Решение

Пусть A₁, B₁ и C₁ — середины сторон BC, CA и AB. Согласно задаче 31.041 точки A₁, B₁ и C₁ являются серединами гипотенуз прямоугольных треугольников, образованных осями координат и прямыми BC, CA и AB. Поэтому (C₁O, Oy) = (Oy, AB) и (Oy, OB₁) = (AC, Oy). Следовательно, (C₁O, OB₁) = (AC, AB) = (C₁A₁, A₁B₁). Это означает, что точка O лежит на описанной окружности треугольника A₁B₁C₁.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	31
Название	Эллипс, парабола, гипербола
Тема	Неопределено
параграф
Номер	4
Название	Гипербола
Тема	Кривые второго порядка
задача
Номер	31.042