Условие
Докажите, что окружность девяти точек треугольника
ABC, вершины которого
лежат на равнобочной гиперболе, проходит через центр
O гиперболы.
Решение
Пусть
A1,
B1 и
C1 — середины сторон
BC,
CA и
AB. Согласно
задаче
31.041 точки
A1,
B1 и
C1 являются серединами гипотенуз
прямоугольных треугольников, образованных осями координат и прямыми
BC,
CA
и
AB. Поэтому

(
C1O,
Oy) =

(
Oy,
AB) и

(
Oy,
OB1) =

(
AC,
Oy). Следовательно,

(
C1O,
OB1) =

(
AC,
AB) =

(
C1A1,
A1B1). Это означает, что точка
O лежит на описанной окружности треугольника
A1B1C1.
Источники и прецеденты использования