Задача 58511

Тема:    [ Кривые второго порядка ]

Сложность: 3 Классы: 10

Условие

Окружность радиуса 2 с центром (x₀, x₀^-1) пересекает гиперболу xy = 1 в точке (- x₀, - x₀^-1) и в точках A, B, C. Докажите, что треугольник ABC равносторонний.

Решение

Пусть A = (a, a^-1), B = (b, b^-1), C = (c, c^-1). Тогда при x = - x₀, a, b, c получаем

(x₀ - x)² + (x₀^-1 - x^-1)² = 4x₀² + 4x₀^-2.

Таким образом, числа - x₀, a, b, c являются корнями многочлена вида

x⁴ - 2x₀x³ + ^...  .

Поэтому - x₀ + a + b + c = 2x₀, т. е. a + b + c = 3x₀. Аналогично a^-1 + b^-1 + c^-1 = 3x₀^-1. Следовательно, точка (x₀, x₀^-1) служит не только центром описанной окружности треугольника ABC, но и его центром масс. Это возможно лишь в том случае, когда треугольник ABC равносторонний.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	31
Название	Эллипс, парабола, гипербола
Тема	Неопределено
параграф
Номер	4
Название	Гипербола
Тема	Кривые второго порядка
задача
Номер	31.044