Задача 58521

Тема:    [ Кривые второго порядка ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Пусть хорды KL и MN проходят через середину O хорды AB. Докажите, что прямые KN и ML пересекают прямую AB в точках, равноудаленных от точки O.

Решение

Пусть f = 0 — уравнение данной окружности. Согласно задаче 31.051 f = l_KLl_MN + l_KNl_ML. Это равенство выполняется и для ограничений всех рассматриваемых функций на прямую AB. Введем на прямой AB координату x, приняв точку O за начало координат. Тогда можно считать, что f = x² - a и l_KLl_MN = x², поэтому l_KNl_ML = bx² - c. Следовательно, корни уравнения l_KNl_ML = 0 равноудалены от точки O.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	31
Название	Эллипс, парабола, гипербола
Тема	Неопределено
параграф
Номер	5
Название	Пучки коник
Тема	Кривые второго порядка
задача
Номер	31.054