Задача 58527

Тема:    [ Кривые второго порядка ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Пусть коники и касаются в точках A и B, a коники и касаются в точках C и D, причем и имеют четыре общие точки. Тогда у коник и есть пара общих хорд, проходящих через точку пересечения прямых AB и CD.

Решение

Результат задачи 31.051 можно применять и в том случае, когда некоторые пары точек сливаются, т. е. коники не только проходят через данную точку, но и касаются друг друга в этой точке.
Пусть p₁ = 0 и p₂ = 0 — уравнения общих касательных к коникам и в точках A и B, q = 0 — уравнение прямой AB. Тогда уравнения коник и можно представить в виде f = p₁p₂ + q² = 0 и f₁ = p₁p₂ + q² = 0. Домножив f₁ на /, можно считать, что = , а значит, f₁ = f + q². Аналогично f₂ = f + r², где r = 0 — уравнение прямой CD. Рассмотрим уравнение f₁ - f₂ = 0, т. е. q² - r² = 0. Ему удовлетворяют четыре общие точки коник и . С другой стороны, это уравнение разлагается в произведение линейных уравнений q + r = 0 и q - r = 0. Следовательно, прямые q±r = 0 содержат общие хорды коник и .
Ясно также, что точка пересечения этих прямых совпадает с точкой пересечения прямых q = 0 и r = 0.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	31
Название	Эллипс, парабола, гипербола
Тема	Неопределено
параграф
Номер	5
Название	Пучки коник
Тема	Кривые второго порядка
задача
Номер	31.060