Информация о задаче

Задача 58527

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Пусть коники $\Gamma$ и $\Gamma_{1}^{}$ касаются в точках A и B, a коники $\Gamma$ и $\Gamma_{2}^{}$ касаются в точках C и D, причем $\Gamma_{1}^{}$ и $\Gamma_{2}^{}$ имеют четыре общие точки. Тогда у коник $\Gamma_{1}^{}$ и $\Gamma_{2}^{}$ есть пара общих хорд, проходящих через точку пересечения прямых AB и CD.

Решение

Результат задачи 31.051 можно применять и в том случае, когда некоторые пары точек сливаются, т. е. коники не только проходят через данную точку, но и касаются друг друга в этой точке.
Пусть p₁ = 0 и p₂ = 0 — уравнения общих касательных к коникам $\Gamma$ и $\Gamma_{1}^{}$ в точках A и B, q = 0 — уравнение прямой AB. Тогда уравнения коник $\Gamma$ и $\Gamma_{1}^{}$ можно представить в виде f = $\lambda$ p₁p₂ + $\mu$ q² = 0 и f₁ = $\lambda_{1}^{}$ p₁p₂ + $\mu_{1}^{}$ q² = 0. Домножив f₁ на $\lambda$ / $\lambda_{1}^{}$ , можно считать, что $\lambda$ = $\lambda_{1}^{}$ , а значит, f₁ = f + $\alpha$ q². Аналогично f₂ = f + $\beta$ r², где r = 0 — уравнение прямой CD. Рассмотрим уравнение f₁ - f₂ = 0, т. е. $\alpha$ q² - $\beta$ r² = 0. Ему удовлетворяют четыре общие точки коник $\Gamma_{1}^{}$ и $\Gamma_{2}^{}$ . С другой стороны, это уравнение разлагается в произведение линейных уравнений $\sqrt{\alpha}$ q + $\sqrt{\beta}$ r = 0 и $\sqrt{\alpha}$ q - $\sqrt{\beta}$ r = 0. Следовательно, прямые $\sqrt{\alpha}$ q± $\sqrt{\beta}$ r = 0 содержат общие хорды коник $\Gamma_{1}^{}$ и $\Gamma_{2}^{}$ .
Ясно также, что точка пересечения этих прямых совпадает с точкой пересечения прямых q = 0 и r = 0.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	31
Название	Эллипс, парабола, гипербола
Тема	Неопределено
параграф
Номер	5
Название	Пучки коник
Тема	Кривые второго порядка
задача
Номер	31.060