Задача 58542

Тема:    [ Кривые второго порядка ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Докажите, что если бесконечное множество точек обладает тем свойством, что расстояние между любыми двумя точками является целым числом, то все эти точки лежат на одной прямой.

Решение

Пусть точки A, B, C не лежат на одной прямой. Достаточно доказать, что имеется лишь конечное число точек P, расстояния от которых до A, B и C -- целые числа. Пусть k — наибольшее из чисел AB и BC. Тогда | PA - PB|ABk. Геометрическим местом точек P, для которых | PA - PB| = d, является гипербола с фокусами A и B. Так как 0dk, точка P расположена на одной из k + 1 гипербол с фокусами A и B (одна из этих гипербол вырождается в прямую). Аналогично точка P расположена на одной из k + 1 гипербол с фокусами B и C. Поскольку две гиперболы имеют не более четырёх общих точек (задача 31.074), а гиперболы с общими фокусами вообще не имеют общих точек, то всего имеется не более 4(k + 1)² точек пересечения гипербол.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	31
Название	Эллипс, парабола, гипербола
Тема	Неопределено
параграф
Номер	7
Название	Рациональная параметризация
Тема	Кривые второго порядка
задача
Номер	31.075