Задача 58543

Тема:    [ Кривые второго порядка ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

а) Докажите, что в трилинейных координатах описанная коника (т.е. коника, проходящая через все вершины треугольника) задаётся уравнением вида

pxy + qxz + rzy = 0.

б) Докажите, что в трилинейных координатах коника, касающаяся всех сторон треугольника или их продолжений, задаётся уравнением вида

px² + qy² + rz² = 2(±xy±xz±yz).

Решение

Пусть коника задана уравнением

px² + qy² + rz² + sxy + txz + uyz = 0.1)

Эта коника проходит через точку (1, 0, 0) тогда и только тогда, когда p = 0.
Коника (1) касается прямой x = 0 тогда и только тогда, когда выражение qy² + rz² + uyz является полным квадратом, т.е. u = ±2.
Замечание 1. Уравнение эллипса касающегося всех сторон треугольника, можно записать в виде

p₁ + q₁ + r₁ = 0,

где p₁ = и т.д.
Замечание 2. В барицентрических координатах уравнения вписанной и описанной коники имеют такой же вид (хотя сами коэффициенты будут другими).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	31
Название	Эллипс, парабола, гипербола
Тема	Неопределено
параграф
Номер	8
Название	Коники, связанные с треугольником
Тема	Кривые второго порядка
задача
Номер	31.076