ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 9]      



Задача 58543  (#31.076)

Тема:   [ Кривые второго порядка ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

а) Докажите, что в трилинейных координатах описанная коника (т.е. коника, проходящая через все вершины треугольника) задаётся уравнением вида

pxy + qxz + rzy = 0.


б) Докажите, что в трилинейных координатах коника, касающаяся всех сторон треугольника или их продолжений, задаётся уравнением вида

px2 + qy2 + rz2 = 2(±$\displaystyle \sqrt{pq}$xy±$\displaystyle \sqrt{pr}$xz±$\displaystyle \sqrt{qr}$yz).


Прислать комментарий     Решение

Задача 58544  (#31.077)

Тема:   [ Кривые второго порядка ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

Коника задаётся в барицентрических координатах уравнением

p$\displaystyle \alpha$$\displaystyle \beta$ + q$\displaystyle \alpha$$\displaystyle \gamma$ + r$\displaystyle \beta$$\displaystyle \gamma$ = 0.

Докажите, что её центр имеет барицентрические координаты

$\displaystyle \bigl($r(p + q - r) : q(p + r - q) : p(r + q - p)$\displaystyle \bigr)$.


Прислать комментарий     Решение

Задача 58545  (#31.078)

Тема:   [ Кривые второго порядка ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

Докажите, что кривая, изогонально сопряженная прямой, не проходящей через вершины треугольника, является коникой, проходящей через вершины треугольника.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58546  (#31.079)

Тема:   [ Кривые второго порядка ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

Дан треугольник ABC и прямая l, не проходящая через его вершины.
а) Докажите, что кривая, изогонально сопряжённая прямой l, является эллипсом, если l не пересекает описанную окружность треугольника ABC; параболой если l касается описанной окружности; гиперболой если l пресекает описанную окружность в двух точках.
б) Докажите, что кривая, изотомически сопряжённая прямой l, является эллипсом, если l не пересекает описанный эллипс Штейнера треугольника ABC; параболой если l касается эллипса Штейнера; гиперболой если l пресекает эллипс Штейнера в двух точках.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58547  (#31.080)

Тема:   [ Кривые второго порядка ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

а) Докажите, что кривая, изогонально сопряженная прямой, проходящей через центр O описанной окружности, является равнобочной гиперболой, проходящей через вершины треугольника.
б) Докажите, что центр этой коники лежит на окружности девяти точек.
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 2 >> [Всего задач: 9]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .