Условие
Дан треугольник ABC и прямая l, не проходящая через его вершины.
а) Докажите, что кривая, изогонально сопряжённая прямой l, является эллипсом,
если l не пересекает описанную окружность треугольника ABC; параболой
если l касается описанной окружности; гиперболой если l пресекает
описанную окружность в двух точках.
б) Докажите, что кривая, изотомически сопряжённая прямой l, является эллипсом,
если l не пересекает описанный эллипс Штейнера треугольника ABC; параболой
если l касается эллипса Штейнера; гиперболой если l пресекает
эллипс Штейнера в двух точках.
Решение
а) При изогональном сопряжении описанная окружность переходит в бесконечно
удалённую прямую (задача 2.90). Поэтому количество точек пересечения
образа прямой l при изогональном сопряжении равно количеству точек
пересечения прямой l с описанной окружностью. Ясно также, что коника является
эллипсом, если она не пересекает бесконечно удалённую прямую; параболой —
если касается; гиперболой — если пересекает в двух точках.
б) Рассмотрим аффинное преобразование, переводящее треугольник ABC в
правильный треугольник A'B'C'. Для правильного треугольника изотомическое
сопряжение одновременно является изогональным сопряжением. Ясно также, что
изотомическое сопряжение инвариантно относительно аффинных преобразований.
Поэтому задача б) следует из задачи а).
Источники и прецеденты использования
|
|
|
книга |
|
Автор |
Прасолов В.В. |
|
Год издания |
2001 |
|
Название |
Задачи по планиметрии |
|
Издательство |
МЦНМО |
|
Издание |
4* |
|
глава |
|
Номер |
31 |
|
Название |
Эллипс, парабола, гипербола |
|
Тема |
Неопределено |
|
параграф |
|
Номер |
8 |
|
Название |
Коники, связанные с треугольником |
|
Тема |
Кривые второго порядка |
|
задача |
|
Номер |
31.079 |
