Задача 58546

Тема:    [ Кривые второго порядка ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Дан треугольник ABC и прямая l, не проходящая через его вершины.
а) Докажите, что кривая, изогонально сопряжённая прямой l, является эллипсом, если l не пересекает описанную окружность треугольника ABC; параболой если l касается описанной окружности; гиперболой если l пресекает описанную окружность в двух точках.
б) Докажите, что кривая, изотомически сопряжённая прямой l, является эллипсом, если l не пересекает описанный эллипс Штейнера треугольника ABC; параболой если l касается эллипса Штейнера; гиперболой если l пресекает эллипс Штейнера в двух точках.

Решение

а) При изогональном сопряжении описанная окружность переходит в бесконечно удалённую прямую (задача 2.90). Поэтому количество точек пересечения образа прямой l при изогональном сопряжении равно количеству точек пересечения прямой l с описанной окружностью. Ясно также, что коника является эллипсом, если она не пересекает бесконечно удалённую прямую; параболой — если касается; гиперболой — если пересекает в двух точках.
б) Рассмотрим аффинное преобразование, переводящее треугольник ABC в правильный треугольник A'B'C'. Для правильного треугольника изотомическое сопряжение одновременно является изогональным сопряжением. Ясно также, что изотомическое сопряжение инвариантно относительно аффинных преобразований. Поэтому задача б) следует из задачи а).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	31
Название	Эллипс, парабола, гипербола
Тема	Неопределено
параграф
Номер	8
Название	Коники, связанные с треугольником
Тема	Кривые второго порядка
задача
Номер	31.079