Условие
Докажите, что кривая, изогонально сопряженная прямой, не проходящей через
вершины треугольника, является коникой, проходящей через вершины треугольника.
Решение
Если прямая не проходит через вершины треугольника, то
в трилинейных координатах она задается уравнением
px +
qy +
rz = 0, где числа
p,
q,
r отличны от нуля. Ее образ при изогональном сопряжении задается
уравнением
+
+
= 0, т.е.
pyz +
qxz +
rxy = 0. Это
уравнение задает некоторую конику, проходящую через вершины треугольника.
Прямая, проходящая через вершину
A, задаётся уравнением
qy +
rz = 0,
Ее образ при изогональном сопряжении задается уравнением
x(
ry +
qz) = 0. Это
уравнение задает две прямые:
x = 0 (прямая
BC) и
ry +
qz = 0 (эта прямая
симметрична исходной прямой относительно биссектрисы угла
A).
Источники и прецеденты использования
|
|
|
книга |
|
Автор |
Прасолов В.В. |
|
Год издания |
2001 |
|
Название |
Задачи по планиметрии |
|
Издательство |
МЦНМО |
|
Издание |
4* |
|
глава |
|
Номер |
31 |
|
Название |
Эллипс, парабола, гипербола |
|
Тема |
Неопределено |
|
параграф |
|
Номер |
8 |
|
Название |
Коники, связанные с треугольником |
|
Тема |
Кривые второго порядка |
|
задача |
|
Номер |
31.078 |
