Задача 58545

Тема:    [ Кривые второго порядка ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Докажите, что кривая, изогонально сопряженная прямой, не проходящей через вершины треугольника, является коникой, проходящей через вершины треугольника.

Решение

Если прямая не проходит через вершины треугольника, то в трилинейных координатах она задается уравнением px + qy + rz = 0, где числа p, q, r отличны от нуля. Ее образ при изогональном сопряжении задается уравнением + + = 0, т.е. pyz + qxz + rxy = 0. Это уравнение задает некоторую конику, проходящую через вершины треугольника.
Прямая, проходящая через вершину A, задаётся уравнением qy + rz = 0, Ее образ при изогональном сопряжении задается уравнением x(ry + qz) = 0. Это уравнение задает две прямые: x = 0 (прямая BC) и ry + qz = 0 (эта прямая симметрична исходной прямой относительно биссектрисы угла A).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	31
Название	Эллипс, парабола, гипербола
Тема	Неопределено
параграф
Номер	8
Название	Коники, связанные с треугольником
Тема	Кривые второго порядка
задача
Номер	31.078