Информация о задаче

Задача 58544

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Коника задаётся в барицентрических координатах уравнением

p $\displaystyle \alpha$ $\displaystyle \beta$ + q $\displaystyle \alpha$ $\displaystyle \gamma$ + r $\displaystyle \beta$ $\displaystyle \gamma$ = 0.

Докажите, что её центр имеет барицентрические координаты

$\displaystyle \bigl($ r(p + q - r) : q(p + r - q) : p(r + q - p) $\displaystyle \bigr)$ .

Решение

Если две точки имеют абсолютные барицентрические координаты ( $\alpha_{1}^{}$ , $\beta_{1}^{}$ , $\gamma_{1}^{}$ ) и ( $\alpha_{2}^{}$ , $\beta_{2}^{}$ , $\gamma_{2}^{}$ ), то середина отрезка с концами в этих точках имеет абсолютные барицентрические координаты $\left(\vphantom{\frac{\alpha _1+\alpha _2}{2},\frac{\beta _1+\beta _2}{2},\frac{\gamma _1+\gamma _2}{2}}\right.$ ${\frac{\alpha _1+\alpha _2}{2}}$ , ${\frac{\beta _1+\beta _2}{2}}$ , ${\frac{\gamma _1+\gamma _2}{2}}$ $\left.\vphantom{\frac{\alpha _1+\alpha _2}{2},\frac{\beta _1+\beta _2}{2},\frac{\gamma _1+\gamma _2}{2}}\right)$ . Поэтому в абсолютных барицентрических координатах симметрия относительно точки ( $\alpha_{0}^{}$ , $\beta_{0}^{}$ , $\gamma_{0}^{}$ ) задаётся формулой

( $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \beta$ , $\displaystyle \gamma$ ) $\displaystyle \mapsto$ (2 $\displaystyle \alpha_{0}^{}$ - $\displaystyle \alpha$ , 2 $\displaystyle \beta_{0}^{}$ - $\displaystyle \beta$ , 2 $\displaystyle \gamma_{0}^{}$ - $\displaystyle \gamma$ ).

Таким образом, нужно проверить, что если $\alpha$ + $\beta$ + $\gamma$ = 1 и p $\alpha$ $\beta$ + q $\alpha$ $\gamma$ + r $\beta$ $\gamma$ = 0, то

p(2 $\displaystyle \alpha_{0}^{}$ - $\displaystyle \alpha$ )(2 $\displaystyle \beta_{0}^{}$ - $\displaystyle \beta$ ) + q(2 $\displaystyle \alpha_{0}^{}$ - $\displaystyle \alpha$ )(2 $\displaystyle \gamma_{0}^{}$ - $\displaystyle \gamma$ ) + r(2 $\displaystyle \beta_{0}^{}$ - $\displaystyle \beta$ )(2 $\displaystyle \gamma_{0}^{}$ - $\displaystyle \gamma$ ) = 0, 1)

где $\alpha_{0}^{}$ = ${\frac{r(p+q-r)}{2pq+2pr+2qr-p^2-q^2-r^2}}$ и т.д. Равенство (1) эквивалентно равенству

2p $\displaystyle \alpha_{0}^{}$ $\displaystyle \beta_{0}^{}$ + 2q $\displaystyle \alpha_{0}^{}$ $\displaystyle \gamma_{0}^{}$ + 2r $\displaystyle \beta_{0}^{}$ $\displaystyle \gamma_{0}^{}$ = $\displaystyle \alpha$ (p $\displaystyle \beta_{0}^{}$ + q $\displaystyle \gamma_{0}^{}$ ) + $\displaystyle \beta$ (p $\displaystyle \alpha_{0}^{}$ + r $\displaystyle \gamma_{0}^{}$ ) + $\displaystyle \gamma$ (q $\displaystyle \alpha_{0}^{}$ + r $\displaystyle \beta_{0}^{}$ ).2)

Выражение в левой части равенства (2) равно

$\displaystyle {\frac{2pqr(2pq+2pr+2qr-p^2-q^2-r^2)}{(2pq+2pr+2qr-p^2-q^2-r^2)^2}}$ = $\displaystyle {\frac{2pqr}{2pq+2pr+2qr-p^2-q^2-r^2}}$ .

Далее, p $\beta_{0}^{}$ + q $\gamma_{0}^{}$ = ${\frac{2pqr}{2pq+2pr+2qr-p^2-q^2-r^2}}$ = p $\alpha_{0}^{}$ + r $\gamma_{0}^{}$ = q $\alpha_{0}^{}$ + r $\beta_{0}^{}$ . А так как $\alpha$ + $\beta$ + $\gamma$ = 1, то выражение в правой части равенства (2) тоже равно ${\frac{2pqr}{2pq+2pr+2qr-p^2-q^2-r^2}}$ .

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	31
Название	Эллипс, парабола, гипербола
Тема	Неопределено
параграф
Номер	8
Название	Коники, связанные с треугольником
Тема	Кривые второго порядка
задача
Номер	31.077