Задача 58547

Тема:    [ Кривые второго порядка ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

а) Докажите, что кривая, изогонально сопряженная прямой, проходящей через центр O описанной окружности, является равнобочной гиперболой, проходящей через вершины треугольника.
б) Докажите, что центр этой коники лежит на окружности девяти точек.

Решение

а) Согласно задаче 31.078 рассматриваемая кривая является коникой, проходящей через вершины треугольника. Нужно лишь доказать, что эта коника является равнобочной гиперболой.

Первое решение. Если коника проходит через вершины треугольника и его ортоцентр, то она — гипербола с перпендикулярными асимптотами (задача 31.056).

Второе решение. При изогональном сопряжении точки описанной окружности переходят в бесконечно удаленные точки (задача 2.90). Легко также видеть, что если точки P₁ и P₂ лежат на описанной окружности треугольника ABC и прямые, симметричные прямым AP_i, BP_i и CP_i относительно биссектрис углов A, B иC, параллельны прямой l_i, то угол между прямыми l₁ и l₂ равен углу P₁AP₂. Поэтому диаметрально противоположным точкам P₁ и P₂ соответствуют перпендикулярные прямые l₁ и l₂.
б) Это непосредственно следует из задачи 31.059 в), поскольку рассматриваемая коника проходит через вершины треугольника и его ортоцентр.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	31
Название	Эллипс, парабола, гипербола
Тема	Неопределено
параграф
Номер	8
Название	Коники, связанные с треугольником
Тема	Кривые второго порядка
задача
Номер	31.080