Задача 58523

Тема:    [ Кривые второго порядка ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Докажите, что любая гипербола, проходящая через вершины треугольника ABC и точку пересечения его высот, является гиперболой с перпендикулярными асимптотами.

Решение

Согласно задаче 31.045 линейная комбинация уравнений гипербол с перпендикулярными асимптотами тоже является гиперболой с перпендикулярными асимптотами. В пучке же коник, проходящих через A, B, C и H, есть две вырожденные коники с перпендикулярными асимптотами: l_ABl_CH и l_BCl_AH. Следовательно, согласно задаче 31.051 все коники этого пучка будут гиперболами с перпендикулярными асимптотами.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	31
Название	Эллипс, парабола, гипербола
Тема	Неопределено
параграф
Номер	5
Название	Пучки коник
Тема	Кривые второго порядка
задача
Номер	31.056