Условие
На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC построены равнобедренные
треугольники AC1B, BA1C, AB1C с углом при основании
(все три
внешним или внутренним образом одновременно). Докажите, что прямые AA1,
BB1 и CC1 пересекаются в одной точке, лежащей на гиперболе Киперта.
Замечание.
На гиперболе Киперта лежат следующие точки: ортоцентр (
=
/2), центр
масс (
= 0), точки Торричелли (
= ±
/3), вершины треугольника
(
= -
, -
, -
).
Решение
Будем считать, что
0 <
<
/2
в случае треугольников, построенных внешним образом, и
-
/2 <
< 0
в случае треугольников, построенных внутренним образом. Точка C1 имеет
трилинейные координаты
sin(
+
) : sin(
+
) : - sin
, поэтому прямая
CC1 задается уравнением
x sin(
+
) = y sin(
+
). Таким
образом, точка с трилинейными координатами

sin(

+

)sin(

+

) : sin(

+

)sin(

+

) : sin(

+

)sin(

+

)
является точкой пересечения прямых
AA1,
BB1 и
CC1. Нужно проверить,
что изогонально сопряженная ей точка

sin(

+

) : sin(

+

) : sin(

+

)

лежит на прямой
OK, т.е.
bc(
b2 -
c2)(sin

cos

+ cos

cos

) + ... = 0.
Но
bc(
b2 -
c2)sin

+ ... = 0 и
bc(
b2 -
c2)cos

+ ... = 0, поскольку
точки
K и
O лежат на рассматриваемой прямой.
Источники и прецеденты использования
|
книга |
Автор |
Прасолов В.В. |
Год издания |
2001 |
Название |
Задачи по планиметрии |
Издательство |
МЦНМО |
Издание |
4* |
глава |
Номер |
31 |
Название |
Эллипс, парабола, гипербола |
Тема |
Неопределено |
параграф |
Номер |
8 |
Название |
Коники, связанные с треугольником |
Тема |
Кривые второго порядка |
задача |
Номер |
31.082 |