Информация о задаче

Задача 58549

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC построены равнобедренные треугольники AC₁B, BA₁C, AB₁C с углом при основании $\varphi$ (все три внешним или внутренним образом одновременно). Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке, лежащей на гиперболе Киперта.
Замечание. На гиперболе Киперта лежат следующие точки: ортоцентр ( $\varphi$ = $\pi$ /2), центр масс ( $\varphi$ = 0), точки Торричелли ( $\varphi$ = ± $\pi$ /3), вершины треугольника ( $\varphi$ = - $\alpha$ , - $\beta$ , - $\gamma$ ).

Решение

Будем считать, что 0 < $\varphi$ < $\pi$ /2 в случае треугольников, построенных внешним образом, и - $\pi$ /2 < $\varphi$ < 0 в случае треугольников, построенных внутренним образом. Точка C₁ имеет трилинейные координаты $\bigl($ sin( $\beta$ + $\varphi$ ) : sin( $\alpha$ + $\varphi$ ) : - sin $\varphi$ $\bigr)$ , поэтому прямая CC₁ задается уравнением x sin( $\alpha$ + $\varphi$ ) = y sin( $\beta$ + $\varphi$ ). Таким образом, точка с трилинейными координатами

$\displaystyle \bigl($ sin( $\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \varphi$ )sin( $\displaystyle \gamma$ + $\displaystyle \varphi$ ) : sin( $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \varphi$ )sin( $\displaystyle \gamma$ + $\displaystyle \varphi$ ) : sin( $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \varphi$ )sin( $\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \varphi$ ) $\displaystyle \bigr)$

является точкой пересечения прямых AA₁, BB₁ и CC₁. Нужно проверить, что изогонально сопряженная ей точка $\bigl($ sin( $\alpha$ + $\varphi$ ) : sin( $\beta$ + $\varphi$ ) : sin( $\gamma$ + $\varphi$ ) $\bigr)$ лежит на прямой OK, т.е.

bc(b² - c²)(sin $\displaystyle \alpha$ cos $\displaystyle \varphi$ + cos $\displaystyle \alpha$ cos $\displaystyle \varphi$ ) + ... = 0.

Но bc(b² - c²)sin $\alpha$ + ... = 0 и bc(b² - c²)cos $\alpha$ + ... = 0, поскольку точки K и O лежат на рассматриваемой прямой.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	31
Название	Эллипс, парабола, гипербола
Тема	Неопределено
параграф
Номер	8
Название	Коники, связанные с треугольником
Тема	Кривые второго порядка
задача
Номер	31.082